|
Vyučující
|
-
Kulish Vladimír, doc. Ing. PhD., DSc.
|
|
Obsah předmětu
|
Anotace: Kurz nabízí komplexní průzkum parciálních diferenciálních rovnic (PDE), zaměřený na jejich původ, klasifikaci a metody řešení. Začíná přehledem PDE s důrazem na jejich formulaci prostřednictvím zákonů zachování a konstitutivních vztahů. Klasifikace PDE na hyperbolické, parabolické a eliptické typy je studována skrze kanonické tvary a reprezentativní rovnice jako vlnová, difuzní, Laplaceova a Schrödingerova rovnice. Jsou představeny různé metody přesných řešení, včetně d´Alembertova řešení, integrálních transformací a separace proměnných, společně se speciálními funkcemi, například Besselovými funkcemi, důležitými pro válcovou a kulovou geometrii. Kurz se dále věnuje Greenovým funkcím, zdůrazňujíc jejich roli při řešení PDE pomocí konvolučních integrálů a zkoumá jejich teoretické vlastnosti. Nelineární dynamika je představena na příkladech nelineárních ODE a PDE s důrazem na stabilitu, chaos a reálné jevy jako epidemie a chemotaxe, čímž studentům poskytuje pevný základ v matematických nástrojích a konceptech nezbytných pro modelování fyzikálních systémů. 1. Krátký přehled PDE: definice PDE, původ PDE, zákon zachování a role konstitutivního vztahu 2. Klasifikace rovnic: šest základních klasifikací PDE; kanonické tvary parciálních rovnic druhého řádu 3. Klasifikace rovnic: vlnová, difuzní a Laplaceova rovnice jako zástupci hyperbolických, parabolických a eliptických typů; Schrödingerova rovnice 4. Přesné metody řešení PDE: d´Alembertovo řešení - vlnová rovnice v nekonečné oblasti; difuzní jádro; počáteční úlohy v nekonečném prostoru 5. Přesné metody řešení PDE: integrální transformace; polonekonečné oblasti; identifikace parametrů 6. Přesné metody řešení PDE: separace proměnných 7. Speciální funkce vznikající při řešení některých PDE: metoda řad pro řešení ODE; úvod do Besselových funkcí 8. Speciální funkce vznikající při řešení některých PDE: separace proměnných ve válcové a kulové geometrii 9. Greenova funkce a její použití při řešení PDE: řešení PDE ve tvaru konvolučních (paměťových) integrálů; Gaussova věta divergence; Greenovy první a druhé identity; Greenova věta 10. Greenova funkce a její použití při řešení PDE: vlastnosti Greenovy funkce; distribuce 11. Úvod do nelineárních ODE a PDE; některé nelineární jevy (epidemie, chemotaxe apod.) 12. Koncept stability a chaosu v nelineárních systémech Výsledky učení: Po absolvování kurzu bude student rozumět základům parciálních diferenciálních rovnic, jejich klasifikaci a hlavním metodám řešení včetně d´Alembertova řešení, integrálních transformací a separace proměnných. Naučí se používat speciální funkce jako Besselovy funkce a aplikovat Greenovy funkce při řešení PDE. Získá povědomí o nelineárních ODE a PDE, pochopí koncepty stability a chaosu a bude schopen modelovat složité fyzikální systémy zahrnující nelineární dynamiku. Obsah cvičení/semináře: Obhajoba projektu kurzu formou semináře.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
nespecifikováno
|
|
Výstupy z učení
|
Cílem předmětu je poskytnout doktorandům komplexní pochopení matematických základů fyzikálního modelování prostřednictvím parciálních diferenciálních rovnic. Důraz je kladen na klasifikaci PDR, exaktní techniky analytického řešení, Greenovy funkce, speciální funkce a analýzu nelineárních systémů. Kurz rozvíjí teoretické a analytické dovednosti potřebné pro pokročilý výzkum v aplikované matematice, fyzice, inženýrství a příbuzných oborech.
|
|
Předpoklady
|
Od studentů se očekává předchozí znalost pokročilého počtu, obyčejných diferenciálních rovnic a vektorové analýzy. Žádoucí je znalost matematických metod ve fyzice.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
nespecifikováno
Samostatné studium zadané literatury; příprava a prezentace projektu kurzu na vybrané téma; složení písemné zkoušky.
|
|
Doporučená literatura
|
-
F. John ? Partial Differential Equations, Springer, 1982..
-
George F. Simmons ? Differential Equations with Applications and Historical Notes, CRC Press, 1991..
-
John D. Logan ? Applied Partial Differential Equations, Springer, 2015..
-
Lawrence C. Evans ? Partial Differential Equations, AMS, 2010..
-
Vladimir Kulish, Partial differential equations. 2nd edition. Pearson/Prentice Hall, (2010), ISBN 9810684398..
-
Walter A. Strauss ? Partial Differential Equations: An Introduction, Wiley, 2007..
|