|
Vyučující
|
-
Kulish Vladimír, doc. Ing. PhD., DSc.
-
Hamidreza Namazi, Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
1. Úvod: komplexní propojené systémy; příklady vícerozměrných jevů a náročných problémů, které je třeba řešit; úvod k teorii chaosu a fraktální geometrii 2. Náhodnost v kostce: koncept náhodnosti; pravděpodobnost jako kvantitativní míra náhodnosti; ergodický princip; neočekávanost a riziko; Bernoulliho pokusy; koncept rozdělení pravděpodobnosti (diskrétní a spojité); jednoduchá rozdělení (od binomického přes Poissonovo až po normální); některá další jednoduchá rozdělení (např. gama, beta atd.); Kullback-Leiblerova divergence 3. Využití náhodnosti: předvídatelné výsledky náhodných procesů (např. metoda Monte Carlo, metoda stoupání do kopce, Brownův pohyb atd.); některé paradoxy náhodnosti (např. přežití vůdců) 4. Informace, složitost a organizace: náhodnost a informace; redundance; entropie rozdělení; složitost a organizace; organizovaná složitost; některé příklady komplexních propojených systémů 5. Chaos: determinismus versus předvídatelnost; fenomén chaosu; chaos versus náhodnost; Ljapunovův exponent a Ljapunovův čas; náběh chaosu s příklady; Feigenbaumovy konstanty; podivné atraktory 6. Fraktály: podivné atraktory jako vizuální identita chaosu; koncept fraktálů; pojem fraktální dimenze; samopodobné geometrické fraktály (např. Cantorovy množiny, von Kochovy a Peanovy křivky atd.); mocninný zákon a vnímání samopodobnosti; časové fraktály (signály); Hurstov parametr jako míra perzistence 7. Multifraktály: monofraktály vs. multifraktály; Rényiho entropie jako zobecnění Shannonovy entropie; zobecněné fraktální dimenze; spektra fraktálních dimenzí a jejich aproximace zobecněnou logistickou funkcí; Rényiho divergence a vylepšené zobecněné fraktální dimenze 8. Úvod do zlomkového počtu: Laplaceovy transformace a zlomkové diferenciální integrály; zlomkové diferenciální integrály některých elementárních funkcí; nepoleová (paměťová) řešení diferenciálních rovnic (konvoluce a její fyzikální význam); Zlomkové diferenciální integrály aplikované na chaos a fraktály 9. Fraktální a multifraktální časové řady (signály): samopodobné stochastické procesy (Brownův pohyb vs. zlomkový Brownův pohyb); stabilní zákony a Levyho pohyby (stabilní rozdělení a simulace stabilních náhodných proměnných); procesy s dlouhou pamětí; mocninné zákony 10. Modelování a analýza fraktálů a multifraktálů: modelování fraktálů pomocí Weierstrassových-Mandelbrotovy funkce (jednorozměrné a vícerozměrné); nepolní zlomkové modely; odšumování zlomkového signálu; zobecněné fraktální dimenze znovu prozkoumané; signály s proměnným Hurstovým parametrem; Hurstov parametr a předvídatelnost; rozpoznávání a předpovídání vzorů 11. Aplikace (část I): signály generované neživými komplexními propojenými systémy (např. turbulence, trhy, internetový provoz atd.) 12. Aplikace (část II): biologické signály [život jako organizovaná komplexita] (např. chůze DNA, kardio a mozkové signály, biofotonika, Kirlianovy obrazy) 13. Závěr: přehled a shrnutí kurzu; diskuse o kurzových projektech; diskuse s otázkami a odpověďmi se studenty
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologická (výklad, přednáška, instruktáž), Práce s textem (učebnicí, knihou), Projektová výuka
- Účast na výuce
- 52 hodin za semestr
- Semestrální práce
- 26 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Složité propojené systémy, včetně internetu, akciových trhů, lidského srdce nebo mozku a mnoha dalších, se obvykle skládají z více subsystémů, které vykazují vysoce nelineární deterministické i stochastické charakteristiky a jsou regulovány hierarchicky. Generují signály, které vykazují komplexní charakteristiky, jako je nelinearita, citlivá závislost na malých poruchách, dlouhá paměť, extrémní variace a nestacionarita. Tento úvodní kurz je zaměřen na integraci teorie chaosu a teorie náhodných fraktálů pro analýzu těchto komplexních časových řad (signálů). Počínaje nejzákladnějšími pojmy teorie chaosu a teorie náhodných fraktálů se studenti postupně učí, jak správně aplikovat nástroje nabízené uvedenými teoriemi pro analýzu komplexních multi-fraktálních signálů. Jsou uvažovány různé příklady skutečných komplexních signálů. Osnova předmětu je strukturována tak, aby vyhovovala potřebám studentů, kteří analyzují složité časové řady pro své vlastní projekty, zejména pak těm, kteří píší diplomové práce.
Počínaje nejzákladnějšími pojmy teorie chaosu a teorie náhodných fraktálů se studenti postupně učí, jak správně aplikovat nástroje nabízené uvedenými teoriemi pro analýzu komplexních multi-fraktálních signálů.
|
|
Předpoklady
|
Bakalářský matematická analýza; středoškolská teorie pravděpodobnosti
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Písemná zkouška, Esej, Test
Dovednosti získané na přednáškách a samostudiem jsou hodnoceny formou písemného půlsemestrálního testu (5 bodů) provedeného v polovině semestru. Skóre z tohoto testu je kombinováno s výsledky písemného závěrečného testu (0-45 bodů) zadaného na konci semestru. Pro získání zápočtu je třeba získat minimálně 30 bodů. Kromě toho musí studenti před závěrečnou zkouškou odevzdat a obhájit svůj projekt kurzu. Projekt je hodnocen známkou (50 bodů) a přispívá k celkové známce za písemnou závěrečnou zkoušku, která se skládá ze dvou otázek (25 bodů každá). Pro úspěšné složení zkoušky musí student dosáhnout celkového minimálního skóre 60 bodů.
|
|
Doporučená literatura
|
-
Jianbo Gao, Yinhe Cao, Wen-Wen Tung, Jing Hu. Multiscale analysis of complex time series: integration of chaos and random fractal theory, and beyond. Wiley, 2007.
|